Einfache Extremwertprobleme

Einfache Extremwertprobleme

Im Prinzip müsst ihr genauso Extremstellen berechnen wie bisher. Das Problem daran ist, dass der Funktionsterm nicht bekannt ist, doch diesen sollt ihr herausfinden.
Dazu eine Übung in Gruppenarbeit; je 2 Gruppen haben die selbe Aufgabe

Beispiel ( Buch S. 183 Fig. 1)

Gesucht: Punkt (u/v) auf der Strecke QR, für den der Flächeninhalt des eingezeichneten Rechtecks am größten ist.

A=u•v (A=a•b) P soll auf der Geraden liegen (Nebenbedingung)

→ (u/v) in y= - 0,6x+3 einsetzen
= v = -0,6u+3 ( für 0≤u≤5)

V= -0,6u+3 in A= u•v einsetzen
→A(u)= u•(-0,6u+3) Zielfunktion ( wieder nur 1 Variable)

Dann wie gewohnt auf Extremstellen untersuchen.


Kasten Strategie für das Lösen von Extremwertproblemen:

1. Beschreiben der Größe, die extremal werden soll ( hier der Flächeninhalt A) durch einen Term. ( kann mehrere Variablen enthalten)
2. Aufsuchen von Nebenbedingungen ( P muss auf Strecke QR liegen)
3. Bestimmung der Zielfunktion ( Nebenbedingung in Zielfunktion eingesetzt v=-0,6u+3; A=u•(-0,6u+3))
4. Untersuchung der Zielfunktion auf Extremwerte und Formulierung des Ergebnisses.


Beispiel 1 (S. 183)

Für welche zwei positiven Zahlen, deren Produkt 8 ist, wird die Summe (S) am kleinsten?

S=x+y ( Funktion, die man auf Minimum untersucht)
x•y=8 -> y= Zielfunktion: S(x)=x+

Auf Extremwerte untersuchen S(x)= x+8•x-1

1.Ableitung S´(x)= 1-8x-2
=1-
2.Ableitung S“(x)=16x-3
=





S´(x)=0 1- =0
1 =
x² =8
x =
x1/2=±2 (x2 Ds→ fällt weg)
S“(x1)= ≈ 0,7 >0→lok.min.

Für x größer 0 kleiner x1 ist s´(x)<0 → s.m.f.
S´(x)>0→ s.m.s.

→Globales Minimum
→ für x=2 und y= =2 erhält man die kleinste Summe 4

Beispiel 2 (S.183) Randextremum
Das Stück CD ist Teil des Schaubildes mit f(x)=
Für welche Lage von Q wird der Inhalt des Rechtecks RPBQ maximal?
1. Flächeninhhalt A=(4-u) •v
2. Nebenbedingung: v=f(u)
3. Zielfunktion: A(u)=(4-u) •( )
=- D=[0;4]
4. 1.Ableitung A´(u)=
2.Ableitung A“(u)=
1.Ableitung=0 setzen A´(u)=0
u1= u2=

u¬1/2 in 2. Ableitung einsetzen
A“(u1/2) = ± d.h. bei u2 ist ein lokales Maximum
Da bei der Berechnung von Extremstellen nur innere Werte einer Funktion berücksichtigt werden, muss man auch die Randwerte in die Zielfunktion einsetzen, um zu prüfen, ob es sich um ein Randextremum handelt. Die Randwerte in diesem Beispiel sind 0 und 8. Setzt man diese in die Zielfunktion ein erhält man A(0)=8 und A(4)=0
Da A(0)>A(u2) ist dies ein Randextremum → den max. Flächeninhalt erhält man für den Punkt Q (0|2), indem man 0 in f(x)= einsetzt.